1、 堆排序的思想

　　输入一个数组，利用一组二叉树的操作使其变成有序的数组，就是堆排序

　　堆排序利用的是二叉树的思想，操作对象是数组，所以数组需要在逻辑上映射到二叉树上，由于数组的下标是连续的，而二叉树中只有完全二叉树和满二叉树是连续的，所以将数组元素逐个映射到完全二叉树上，然后配备一系列的操作即可。例如数组data[]={9,6,5,4,3,2,1,7}，映射到完全二叉树上如下图所示。

　

2、堆排序的过程

　　还是用上面的data数组作为输入数组，映射到完全二叉树如上图所示，怎么利用二叉树的性质，才能使得数组有序呢？首先需要取得二叉树中的最大值（或者最小值），显然需要建立最大堆，取得二叉树的根节点即最大值，放置在数组中最后一个位置上，再将二叉树中的最后一个节点放置在根节点上，调整堆使其变成最大堆，取最大值放在数组中倒数第二个位置上.......这样的调整需要n-1次，数组有序。

　　总结上述过程，堆排序需要三个步骤：

　　　　A、根据输入数组，建立最大堆

　　　　B、保持最大堆的性质

　　　　C、循环n-1次，找到(n-1)堆中每个堆的最大值并放置在数组中，数组有序

　　首先，这三个过程中，我觉得最重要的是保持最大的堆的性质，其实就是在二叉树中不断使元素下行，直至满足最大堆的要求。需要知道，数组中下标为i的元素，它的左孩子下标是2i+1，右孩子的下标是2i+2，保持最大堆函数的伪代码如下所示（伪代码--算法导论上第75页）。

　　

1 MAX_HEAPFY(A,i) 2     l=LEFT(i)    //l=2*i+1 3     r=LEFT(i)    //r=2*i+2 4     if(l<=heap_size(A)&&A[i]

　　　其次，在完成max_heapfy后，接下来的工作就是根据输入数组建立最大堆，由max_heapfy知道，函数的参数i代表的是根节点的下标，在一个长度为len的数组中，下标最大的根节点的下标是(i/2)，我们可以从下到上依次调整形成最大堆，这个过程就是建立最大堆的过程，与MAX_HEAPFY调整函数不同，这个过程是一个元素上行的过程。建堆的伪代码如下所示。

1     BUILD_MAX_HEAP(A)2         heap_size(A)=length(A)3         for(int i=length(A)/2;i>=0;i--)4             MAX_HEAPFY(A,i)

　　最后，完成以上两步后，取最大堆的堆顶元素，放置在数组中对应的位置上，不断循环，这个过程需要进行length(A)-1次，数组便可有序。这个过程的伪代码如下所示。

1 HEAPSORT(A)2     BUILD_MAX_HEAP(A)3     for(int i=length(A)-1;i>=1;i--)4         exchange(A[0],A[i]);5         heap_size(A)=heap_size(A)-16         MAX_HEAPFY(A,0);

3、堆排序的时间复杂度分析：

　　由上述说明，堆排序的输入数组和一个完全二叉树对应，假设数组大小时N，则二叉树的高度是lgN，所以保持最大堆性质的调整操作所需要的时间复杂度是O(lgN)，而建立一个最大堆的时间复杂度是O(n)（这个结论的推导在算法导论的第78页），最后的排序时间复杂度为(n-1)*lgN

　　所以，这个堆排序的时间复杂度是T(N)=O(N)+(n-1)*lgN，T(N)=O(NlgN)，需要说明的一点是堆排序对于输入的数据的随机性没有特别的要求，也就是说，在最好、最坏和平均情况下，堆排序的时间复杂度都是O(nlgn)

4、堆排序的稳定性说明

　　堆排序不是一种稳定的排序方法。

附上堆排序的代码(codeblocks已通过)：

1 #include 
     
       2 #include 
      
        3 #include 
       
         4 #include 
        
          5 #include 
         
           6 using namespace std; 7 void max_heapfy(int data[],int heap_size,int i){ 8     int left=2*i+1; 9     int right=2*i+2;10     int largest;11     if(left
          
           data[i])12 largest=left;13 else14 largest=i;15 if(right
           
            data[largest])16 largest=right;17 if(largest!=i){18 swap(data[i],data[largest]);19 max_heapfy(data,heap_size,largest);20 }21 }22 void build_heap(int data[],int length){23 for(int i=length/2-1;i>=0;i--)24 max_heapfy(data,length,i);25 }26 void heap_sort(int data[],int length){27 if(data==NULL||length<=0)28 return ;29 build_heap(data,length);30 int heap_size=length;31 for(int i=length-1;i!=0;i--){32 swap(data[i],data[0]);33 heap_size-=1;34 max_heapfy(data,heap_size,0);35 }36 }37 int main(){38 int data[]={ 6,5,4,9,7,8,2,1,3,5};39 int length=sizeof(data)/sizeof(int);40 heap_sort(data,length);41 for(int i=0;i